Κάποιος σας προτείνει να παίξετε ένα παιχνίδι τύχης με τους εξής όρους: Θα ρίχνετε συνεχώς ένα νόμισμα μέχρι αυτό να φέρει για πρώτη φορά Κορώνα. Αν αυτό συμβεί με την πρώτη σας προσπάθεια θα σας δώσει 2 ευρώ. Αν συμβεί με τη δεύτερη θα σας δώσει 4 ευρώ. Αν συμβεί με την τρίτη θα σας δώσει 8 ευρώ και γενικά όσο περισσότερο καθυστερεί η εμφάνιση της πρώτης Κορώνας, τόσο αυτός θα διπλασιάζει το ποσό που θα κερδίσετε. Το ερώτημα είναι ποιο είναι το μέγιστο ποσό που διατίθεστε να πληρώσετε σαν εισιτήριο για να συμμετάσχετε στο παιχνίδι;

Ας εφαρμόσουμε τον τύπο της αναμενόμενης απόδοσης: Αν φέρετε Κορώνα στην πρώτη προσπάθεια κερδίζετε 2 ευρώ, οπότε με πιθανότητα 1/2 έχετε έσοδο 2 ευρώ, οπότε η απόδοση της πρώτης προσπάθειας είναι 1/2 * 2 = 1 ευρώ. Έστω ότι φέρατε Κορώνα στη δεύτερη προσπάθεια. Η πιθανότητα να συμβεί αυτό (όπως αυτή υπολογίζεται πριν ξεκινήσει το παιχνίδι) είναι 1/4 και το έσοδό σας σε αυτήν την περίπτωση είναι 4 ευρώ. Οπότε η απόδοση της δεύτερης προσπάθειας είναι 1/4 * 4 = 1 ευρώ. Γίνεται φανερό πως η απόδοση κάθε προσπάθειας είναι πάντα 1 ευρώ και η συνολική αναμενόμενη απόδοση είναι το άθροισμα αυτών των επιμέρους αποδόσεων. Άρα μετά από Ν προσπάθειες η αναμενόμενη απόδοση είναι Ν ευρώ. Επειδή δεν τέθηκε αρχικός περιορισμός για το πόσες φορές μπορεί να επαναληφθεί η διαδικασία της ρίψης του νομίσματος, είναι θεωρητικά δυνατόν το Ν να πάρει οσοδήποτε μεγάλη τιμή και άρα και το αναμενόμενο κέρδος σας από τη διαδικασία γίνεται άπειρο. Οπότε θα σας συνέφερε να πληρώσετε ένα οσοδήποτε μεγάλο ποσό για να συμμετάσχετε στο παιχνίδι.

Παρ’ όλ’ αυτά, οι περισσότεροι άνθρωποι που ερωτήθηκαν δεν είναι διατεθειμένοι να ποντάρουν στο παιχνίδι περισσότερα από 10 ευρώ περίπου. Που νομίζετε ότι οφείλεται αυτή η τεράστια διαφορά μεταξύ του μαθηματικού υπολογισμού και της ανθρώπινης διαίσθησης;

Λύση
Από τα πρώτα χρόνια της διατύπωσης της θεωρίας των πιθανοτήτων και του τύπου υπολογισμού της αναμενόμενης τιμής, διάφοροι μαθηματικοί έκαναν προτάσεις για τη λύση αυτού του παραδόξου. Θα αναφέρω τις δύο καλύτερες από αυτές, οι οποίες κατά τη γνώμη μου συνδυάζονται μεταξύ τους και δίνουν μια πειστική ερμηνεία.
Η πρόταση του Gabriel Cramer ήταν πως ο οργανωτής του παιχνιδιού ίσως τελικά να μην μπορέσει να ανταποκριθεί στους όρους πληρωμής που έθεσε, μιας και το ποσό που θα πρέπει να πληρώσει αυξάνεται με γεωμετρική πρόοδο ενώ πρακτικά υπάρχει κάποιο όριο χρημάτων το οποίο δεν θα μπορέσει να υπερβεί. Αν π.χ. το ανώτερο ποσό που μπορεί να πληρώσει είναι 33,5 εκατομμύρια ευρώ, το Ν μπορεί να φτάσει μέχρι την τιμή 25. Οπότε 25 ευρώ είναι το αναμενόμενο κέρδος σας και αντίστοιχα το ποσό που θα σας συνέφερε να πληρώσετε σαν εισιτήριο για να συμμετάσχετε στο παιχνίδι.
Ο Daniel Bernoulli έκανε μια ακόμα πιο ενδιαφέρουσα παρατήρηση: Είπε πως από ένα ποσό και μετά, ο διπλασιασμός του επάθλου δεν συνεπάγεται και διπλασιασμό του οφέλους που αποκομίζει κανείς από το νέο έπαθλο. Με άλλα λόγια, αν βαθμολογήσουμε με χίλιες μονάδες ευτυχίας το γεγονός ότι ένα ποσό των 1.000 ευρώ που είχαμε έγινε 2.000, τότε δεν μπορούμε να βαθμολογήσουμε με 20 εκατομμύρια μονάδες ευτυχίας το γεγονός ότι ένα ποσό των 20.000.000 ευρώ έγινε 40.000.000. Από ένα ποσό και πάνω επέρχεται κορεσμός της ευτυχίας που αποκομίζουμε από τα χρήματα. Ο τύπος της αναμενόμενης απόδοσης όμως έχει σκοπό να μας οδηγήσει στη σωστή απόφαση με βάση το πραγματικό μας όφελος και όχι το πλήθος των ψηφίων που θα έχει ο λογαριασμός μας. Θα ήταν σωστότερο λοιπόν, στις περιπτώσεις που το υπολογιζόμενο κέρδος αυξάνεται με γεωμετρική πρόοδο, να αντικαταστήσουμε στον τύπο της αναμενόμενης απόδοσης τα χρήματα με βαθμούς οφέλους ή ευτυχίας, με βάση κάποια συνάρτηση ευτυχίας που εξαρτάται από το ποσό που κερδίζουμε. Τέτοια παραδείγματα θα μπορούσαν να είναι η τετραγωνική ρίζα ή ο λογάριθμος του ποσού, συναρτήσεις οι οποίες οδηγούν σε πεπερασμένες και μάλιστα μικρές αναμενόμενες αποδόσεις.

Πηγή: pantsik.awardspace.com