Η Αλεξάνδρα Περγάμου μόλις διορίστηκε επικεφαλής καταλογογράφησης της φημισμένης βιβλιοθήκης του Κάτω Μπόβυ. Το πρώτο καθήκον που ανέλαβε είναι να δημιουργήσει έναν κύριο κατάλογο των καταλόγων της βιβλιοθήκης.
Όμως, καθώς κοιτά τους καταλόγους με τα βιβλία των διαφόρων ειδικών συλλόγων, προσέχει ότι ορισμένοι αναφέρουν τον ίδιο τον κατάλογο ως μέρος της συλλογής και άλλοι όχι.
Αυτό θίγει την έννοια της τάξης, οπότε αποφασίζει ότι χρειάζεται δύο κύριους καταλόγους: τον πρώτο με όλους τους καταλόγους της βιβλιοθήκης με αυτοαναφορά και τον δεύτερο με τους καταλόγους χωρίς αυτοαναφορά.
Αφού πήρε την απόφαση, αρχίζει να δουλεύει. Τελειώνοντας τον πρώτο κατάλογο, αποφασίζει ότι εφ’ όσον ο κύριος κατάλογος είναι κατάλογος, πρέπει να τον αναφέρει και αυτόν στην καταλογογράφηση, οπότε προσθέτει μια αυτοαναφορά.
Μετά αρχίζει να φτιάχνει τον δεύτερο κύριο κατάλογο. Μερικές ώρες αργότερα, έχει τελειώσει τη δουλειά, μόνο που, όπως και στον πρώτο κύριο κατάλογο, πρέπει να αναφέρει τον ίδιο τον κύριο κατάλογο μέσα στη λίστα καταλόγων.
Όμως, γρήγορα συνειδητοποιεί ότι τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά με τον δεύτερο κύριο κατάλογο. Όσο μπορεί να καθορίσει, δεν μπορεί ούτε να προσθέσει αναφορά στον ίδιο τον κατάλογο, ούτε να τον παραλείψει. Στην πραγματικότητα, αισθάνεται ότι έχει κολλήσει.
Γιατί δεν μπορεί να προσθέσει τον δεύτερο κύριο κατάλογο στη λίστα των καταλόγων που περιέχονται στις σελίδες του;
Η λύση
Η Αλεξάνδρα Περγάμου, επικεφαλής καταλογογράφησης της βιβλιοθήκης του Κάτω Μπόβυ, βρέθηκε μπροστά σε μια εκδοχή του πραγματικού κόσμου του παράδοξου που πρώτος το αποκάλυψε ο Μπέρτραντ Ράσσελ.
Το ζήτημα με το οποίο παλεύει είναι αν ένας κύριος κατάλογος που αναφέρει όλους τους κατάλογους χωρίς αυτοαναφορά πρέπει να αυτοαναφέρεται.
Το πρόβλημα είναι ότι αν ο κατάλογος δεν αναφέρεται στον εαυτό του, τότε ανήκει στους καταλόγους χωρίς αυτοαναφορά, οπότε πρέπει να αυτοαναφερθεί (επειδή καταλογογραφεί τους καταλόγους εκείνους που δεν αυτοαναφέρονται).
Ωστόσο, αν αναφέρεται στον εαυτό του, τότε δεν ανήκει στους καταλόγους που δεν αυτοαναφέρονται, οπότε δεν πρέπει να αυτοαναφερθεί. Και εδώ κόλλησε. Έχουμε ένα πραγματικό παράδοξο.
Μπορούμε να εκφράσουμε το παράδοξο πιο επίσημα με τον εξής τρόπο:
Μπορεί το σύνολο όλων των συνόλων, τα οποία δεν περιέχουν τον εαυτό τους ως μέλος του συνόλου, να περιλάβει τον εαυτό του; Αν δεν μπορεί, τότε πρέπει αν μπορεί, τότε δεν πρέπει.
Το παράδοξο του Ράσσελ είναι (σχετικά) ευθές αλλά οι συνέπειές του ήταν τεράστιες. Έδειξε ότι υπήρχε κάτι λανθασμένο στον τρόπο που οι άνθρωποι αντιμετώπιζαν την λογική και τα μαθηματικά στις αρχές του εικοστού αιώνα.
Υπάρχει μια ενδιαφέρουσα παράπλευρη ιστορία εδώ. Το παράδοξο βγήκε στο φως το 1903, όταν ο Μπέρτραντ Ράσσελ έστειλε ένα γράμμα περιγράφοντάς το στον φιλόσοφο Γκότλομπ Φρέγκε, ο οποίος είχε αφιερώσει τριάντα χρόνια από την ζωή του αναπτύσσοντας μια θεωρία για τα θεμέλια της αριθμητικής.
Δεν είναι παρά ελαφριά υπερβολή να πούμε ότι το όλο εγχείρημα του Φρέγκε καταστράφηκε από αυτήν την απλή επιστολή.
