Ο ξενοδόχος Βασίλης Σινκλαίρ είναι ο περήφανος ιδιοκτήτης ενός πολύ ασυνήθιστου ξενοδοχείου. Το ξενοδοχείο «Το Άπειρον», όπως ονομάζεται, έχει άπειρο αριθμό δωματίων.

Ο Σινκλαίρ πάντα αισθάνεται σίγουρος ότι το διαφημιστικό σλόγκαν – «πάντα έχουμε χώρο για εσάς»- είναι αλήθεια.

Όμως, σήμερα νιώθει λίγο αβέβαιος. Ο επιθεωρητής Χορς, ο ευρυμαθής ερασιτέχνης φιλόσοφος της περιοχής, έκλεισε την αίθουσα διασκέψεων του ξενοδοχείου για να δώσει μια διάλεξη και, μάλλον αναπάντεχα, ένας άπειρος αριθμός ατόμων κατέφθασαν στο ξενοδοχείο για να παρακολουθήσουν την διάλεξη.

Αυτό σημαίνει ότι όλα τα δωμάτια στο ξενοδοχείο «Το Άπειρον» είναι πιασμένα.

Ο Σινκλαίρ παρατηρεί νευρικά από το παράθυρο του ξενοδοχείου, όταν, στη φρίκη του, εντοπίζει ένα καινούργιο πρόβλημα: μια πομπή πούλμαν βρίσκεται στο δρόμο για το ξενοδοχείο.

Ανησυχεί ενώ άλλος ένας άπειρος αριθμός ατόμων αποβιβάζεται και κατευθύνεται προς τις περιστρεφόμενες πόρτες του ξενοδοχείου. Αρκετή ώρα αργότερα, βρίσκονται όλοι συγκεντρωμένοι μπροστά στη ρεσεψιόν, ζητώντας δωμάτια και αναφέροντας θυμωμένα στο διαφημιστικό σλόγκαν του ξενοδοχείου όταν ο Σινκλαίρ τους λέει ότι το ξενοδοχείο είναι γεμάτο για την διάλεξη.

Ευτυχώς, ο επιθεωρητής Χορς παρακολουθεί αμέτοχος τα συμβάντα. Προβάλλει μπροστά στην ομήγυρη και ανακοινώνει ότι υπάρχει τρόπος να φιλοξενήσουν έναν άπειρο αριθμό νέων πελατών, και επιπλέον, με τρόπο ώστε να διασφαλιστεί ότι κανένας δεν θα καταλήξει με έναν ξένο στο κρεβάτι του.

Ο Χορς επισημαίνει ότι για να λυθεί το πρόβλημα της υπερπλήρωσης των δωματίων είναι να αναγνωρίσουν ότι στο ξενοδοχείο «Το Άπειρον», το γεγονός ότι είναι κατειλημμένα όλα τα δωμάτια δεν σημαίνει ότι δεν υπάρχει χώρος για επιπλέον πελάτες.

Πώς πιστεύει ο επιθεωρητής Χορς ότι το ξενοδοχείο «Το Άπειρον» μπορεί να φιλοξενήσει έναν άπειρο αριθμό νέων πελατών;

Λύση:

Το πρόβλημα του ξενοδοχείου «Το Άπειρον» και το ερώτημα του πόσους πελάτες μπορεί να φιλοξενήσει τέθηκε πρώτη φορά από τον μαθηματικό Ντέιβιντ Χίλμπερτ.

Η λύση στην εκδοχή που παρουσιάζεται εδώ είναι όντως λογικά καθαρή, αν και κατά κάποιο τρόπο ιδιαίτερα ασύμφωνη προς την διαίσθησή μας.

Για να μπορέσει να φιλοξενήσει άπειρους νέους πελάτες και για να διασφαλίσει ότι κανένας από αυτούς δεν θα καταλήξει σε κατειλημμένο δωμάτιο, ο ξενοδόχος Βασίλης Σινκλαίρ δεν έχει παρά να ζητήσει στους υφιστάμενους πελάτες να μεταφερθούν σε δωμάτια βάσει της φόρμουλας που ακολουθεί:

Δωμάτιο 1 → Δωμάτιο 2

Δωμάτιο 2 → Δωμάτιο 4

Δωμάτιο 3 → Δωμάτιο 6

Δωμάτιο 4 → Δωμάτιο 8

Κλπ

Αυτή η κίνηση θα αφήσει άπειρα δωμάτια με μόνο αριθμό ελεύθερα για νέους πελάτες. Μόλις τακτοποιηθούν, το ξενοδοχείο θα είναι πλήρες ξανά, αλλά αυτό που είναι καθοριστικής σημασίας, όπως επισήμανε ο επιθεωρητής Χορς, δεν σημαίνει ότι δεν υπάρχει χώρος για επιπλέον πελάτες.

Ο ξενοδόχος μπορεί να επαναλάβει τη διαδικασία ή κάποια παραλλαγή της για να φιλοξενήσει νέους πελάτες.

Αν και τίποτα από αυτά δεν είναι αυθεντικά παράδοξο, υπάρχει κάποια δόση παραδοξότητας εδώ. Ας υποθέσουμε, για παράδειγμα, ότι οι μισοί πελάτες τώρα φεύγουν από το ξενοδοχείο – ίσως αυτοί που καταλαμβάνουν δωμάτια με ζυγό αριθμό- θα είναι μισοάδειο, κι όμως πάλι θα περιέχει άπειρο αριθμό πελατών.

Ίσως να νομίζετε ότι αυτό το πρόβλημα είναι πολύ εύκολο για να το λύσετε;

Αν είναι έτσι, φανταστείτε το σενάριο όπου ένας άπειρος αριθμός πούλμαν καταφθάνει, το καθένα περιλαμβάνει άπειρο αριθμό επιβατών. Πώς θα τακτοποιήσετε σε δωμάτια όλον αυτόν τον κόσμο χωρίς να καταλήξουν να μοιράζονται τα δωμάτια μεταξύ τους;